ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1.
Η πόρτα του σχήματος έχει συνολικής μάζα M και είναι κατασκευασμένη η μισή από Μόλυβδο(Pb) και η άλλη μισή από Αλουμίνιο(Al). Σε ποια πλευρά πρέπει να τοποθετήσουμε τους μεντεσέδες (αρθρώσεις) ώστε η πόρτα να ανοίγει πιο εύκολα; Στην πλευρά του Pb ή στην πλευρά του Αl; Δίνεται ότι η πυκνότητα του Pb είναι 4 φορές μεγαλύτερη από την πυκνότητα του Al, και ότι η ροπή αδράνειας μιας ορθογώνιας πλάκας με μάζα Μ και πλευρές α,β, ως προς άξονα που πέρνα από το κέντρο μάζας της και είναι παράλληλος στη μεγάλη πλευρά β είναι Ιcm= Μα2/12.
Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 15)
Α2. Τα αστέρια, όπως πχ ο ήλιος μας, κατά το τελευταίο στάδιο της ζωής τους συρρικνώνονται λόγω βαρύτητας με αποτέλεσμα η ακτίνα τους να μειώνεται δραματικά και να μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων (PULSARS). Έστω λοιπόν ένας Ήλιος που περιστρέφεται με περίοδο 25 days και έχει ακτίνα 7x108m. Αν αυτός καταρρεύσει σε έναν αστέρα νετρονίων ακτίνας 14 Km, να βρεθεί ο αριθμός των περιστροφών που θα εκτελεί ανά ημέρα. Δίνεται η ροπή αδράνειας του αστέρα ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= 2ΜR2/5. Θεωρήστε ότι κατά την συρρίκνωση η μάζα του αστέρα μένει σταθερή και ότι ο άξονας περιστροφής του δεν αλλάζει. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 έχουν την ίδια μάζα m και την ίδια ακτίνα R και αφήνονται από το ίδιο σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=450, και εκτελούν κύλιση χωρίς ολίσθηση.
Δίνεται ότι η Σ1 είναι συμπαγής με ροπή αδράνειας Ι1= 2mR2/5 και η Σ2 είναι κούφια με ροπή αδράνειας Ι2= 2mR2/3.
Β1. Αρχικά να αποδείξετε ότι η στατική τριβή είναι ανεξάρτητη του συντελεστή στατικής τριβής μs. Ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής, ώστε και οι δύο σφαίρες να εκτελούν κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι: i) 2/7 ii) 2/5 iii) 1
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. (Μονάδες 8)
Β2. Αρχικά να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθούν μεταφορικά οι δύο σφαίρες είναι ανεξάρτητες της μάζας και της ακτίνας τους.
Ο λόγος α1/α2 των επιταχύνσεων των δύο σωμάτων κατά την πτώση τους στο κεκλιμένο επίπεδο θα είναι: i) 25/21 ii) 1 ii) 5/3
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. (Μονάδες 8)
B3. Αρχικά εξηγήστε ποια σφαίρα θα φτάσει πρώτη στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Ο λόγος u1/u2 των τελικών ταχυτήτων των κέντρων μάζας των δύο σωμάτων, όταν αυτά φτάνουν στη βάση του επιπέδου θα είναι: i) 21/25 ii) 1 iii) √25/√21
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ Γ
Ράβδος ΑΒ μήκους L=1m και μάζας M=√3Kg, έχει το ένα άκρο της Α στερεωμένο σε άρθρωση ενώ στο άλλο άκρο της Β είναι κολλημένη στοιχειώδης μάζα m. Στη μάζα m είναι δεμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα το οποίο σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία θ=600. Το νήμα είναι τυλιγμένο σε ακλόνητη τροχαλία μάζας Μ1=2Kg και ακτίνας R1=0,2m και το άλλο άκρο του είναι τυλιγμένο σε κύλινδρο μάζας Μ2 και ακτίνας R2=0,1m, ακριβώς όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνεται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ι1=M1R 2/2 και του κυλίνδρου Ι2=Μ2R2. g=10m/s2
Γ1. Αν γνωρίζουμε ότι για να ηρεμεί το σύστημα με τη ράβδο να βρίσκεται στην οριζόντια θέση, θα πρέπει να ασκούμε στον κύλινδρο (Μ2, R2) κατακόρυφη εφαπτομενική δύναμη F=20Ν προς τα πάνω, να υπολογισθούν: i) η μάζα M2 του κυλίνδρου και η στοιχειώδης μάζα m. ii) Η συνολική δύναμη που ασκεί η ράβδος στην άρθρωση. iii) Το μέτρο της δύναμης που θα ασκεί το στήριγμα στη τροχαλία (θεωρείστε μόνο γι’ αυτό το ερώτημα √3=1.6 και √809=28 )
Γ2. Έστω ότι κάποια χρονική στιγμή, που θα τη θεωρήσουμε ως στιγμή μηδέν, σταματάμε να ασκούμε τη δύναμη F και ταυτόχρονα κόβουμε το νήμα που ενώνει την τροχαλία με τη στοιχειώδη μάζα m. Να υπολογισθούν: i) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη στιγμή που θα έχει στραφεί κατά γωνία φ=600. ii) Η τάση του νήματος μεταξύ τροχαλίας και κυλίνδρου. iii) Η εξίσωση της στροφορμής του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο. Να σχεδιαστεί η αντίστοιχη γραφική παράσταση iv) Το μέτρο της ταχύτητας του κατώτατου σημείου του κυλίνδρου τη στιγμή που από την τροχαλία έχει ξετυλιχθεί σχοινί l=1,2m. (Μονάδες Γ1:6,6,9 Γ2:6,6,7,10)
Οι αναλυτικές απαντήσεις των θεμάτων θα δημοσιευθούν τις επόμενες μέρες στη σελίδα μας: www.facebook.com/idiaitera.papadakos
